Chapitre 9. La physique – 1. La Relativité restreinte

1. La simultanéité.

Ce qui conduit Einstein à la relativité, c’est la question de la simultanéité. En pratique, la difficulté est la synchronisation des horloges de telle sorte que l’heure dans les gares soit partout la même afin de permettre une circulation harmonieuse et prévisible, pour le voyageur.

Que signifie que deux événements (deux éclairs, par exemple) se produisent en même temps ? Rien. La question est : en même temps pour qui ? Soit un observateur placé à égale distance de deux éclairs, s’il reçoit en même temps la lumière émise par les deux sources, les événements sont en effet simultanés. Mais, si cet observateur est placé plus près d’une des deux sources, il recevra la lumière de l’une avant celle de l’autre. Les mêmes événements ne sont plus simultanés. Que signifie alors une simultanéité qui change selon l’emplacement de celui qui en juge ?

Revenons au premier observateur et doublons-le d’un autre situé justement dans un train en déplacement sur une voie. Pour le premier, au même moment, les éclairs seront simultanés tandis que pour le second, ils seront successifs.

Tout est donc affaire de référentiel. Chaque référentiel a son temps propre. Et tout ceci tient au fait que la vitesse de la lumière n’est pas infinie, mais limitée. Il faut du temps à la lumière pour parcourir de l’espace (de sa source à l’observateur), elle ne se propage pas instantanément. L'observateur placé dans le train qui se dirige dans le même sens que la lumière de l'éclair percevra celle-ci plus tard que l'observateur immobile sur le quai. Inversement, si le train va vers la source lumineuse, l'observateur embarqué percevra la lumière avant l'observateur placé sur le quai.

2. La transformation de Lorentz

Du coup, ce qui est en jeu, c’est l’universalité des lois. Sont-elles les mêmes pour tous les observateurs ( = dans tous les référentiels) ?

a. Dans un monde où le temps et l’espace sont des absolus, comme dans la conception classique de la physique, le passage d’un référentiel à un autre se fait par la transformation de Galilée. Tout référentiel en mouvement rectiligne uniforme (évidemment) par rapport à un référentiel (galiléen) donné est lui-même galiléen et laisse les équations de la mécanique newtonienne invariantes. Autrement dit, n’importe quelle expérience mécanique réalisée dans un système au repos se déroulera exactement de la même manière dans un système en mouvement uniforme, c’est-à-dire à vitesse  u  constante, par rapport au premier.

Si un point P a pour coordonnées dans un repère R fixe (x, y, z, t), il aura pour coordonnées dans un repère R’ en mouvement rectiligne uniforme à vitesse u le long de l’axe des  x : (x’ =  x-u.t ; y’= y, z’= z et … t’ = t, puisque le temps est absolu, le même en tout repère).

Dans une transformation de Galilée, les vitesses s’additionnent. Si dans le repère R un objet se déplace à vitesse v, dans le repère R’ en déplacement à vitesse constante v’ par rapport R, l’objet se déplace à V = v + v’. Si une fusée qui avance à 10 km/s tire un missile qui avance à 10 km/s par rapport à la fusée, le missile avance par rapport à la Terre, à 20 km/s.

Ce qui va contraindre à passer aux transformations de Lorentz, c’est le fait que si la fusée avance à la vitesse de la lumière (c) et tire un missile à quelque vitesse que ce soit, ce missile avancera à une vitesse c et pas davantage. La vitesse de la lumière (dans le vide, faut-il préciser, puisqu’elle peut être ralentie selon le milieu dans lequel elle se propage) est la même pour tous les observateurs quel que soit leur mouvement, la même aussi quelque soit la source, au repos ou en mouvement. Le temps n’est plus le même partout (on va le voir), ce qui est le même partout, c’est la vitesse de la lumière.
On notera ceci : que ce soit la lumière qui se déplace à la vitesse la plus grande de toutes est purement accidentel. En réalité, il faut qu'il y ait une vitesse limite, faute de quoi tout pourrait être la cause de tout (voir, plus bas, 3 : le cône de lumière) et il n'y aurait plus de lois, plus de physique.

b. Dans un monde où existe une vitesse limite et constante, il faut faire appel à la transformation de Lorentz. Le problème est le même mais avec une contrainte : la vitesse maximum pour tous les systèmes est  c (la vitesse de la lumière). Lorsque la vitesse envisagée est très petite par rapport à  c, on revient aux transformations de Galilée.

On considère alors deux systèmes de coordonnées : l'un R{x,y,z,t}, l'autre R'{x',y',z',t'}. Ces deux référentiels sont supposés en translation uniforme l'un par rapport à l'autre, avec une vitesse uniforme u, de telle sorte que l'axe x de R coïncide avec l'axe x' de R'. Les grandeurs x, y, z, t fixent un événement relativement au système R. Ce même événement est fixé par les grandeurs x', y', z', t', relativement au système R'. Il faut trouver les équations qui lient ces grandeurs entre elles et permettent ainsi de passer d’un référentiel à l’autre. (Les équations cherchées doivent être linéaires du fait de l'homogénéité du temps et de l'espace). L'origine du temps dans les deux systèmes est choisie au moment où les origines des coordonnées (O et O’) coïncident. (Voir dans La Physique -Annexe - Les quadri-vecteurs, le détail de ces transformations). On retiendra ici seulement que la transformation de Lorentz permet de généraliser aux vitesses non négligeables par rapport à  c, les transformations de Galilée.

 Ici, la coordonnée x dans R est donnée par : x =  g (x’ + b.ct’) où  b = v / c et :

 Si maintenant on veut rendre compte de deux événements successifs (où x devient donc Dx et t, (Dt), on voit que dans un référentiel R en mouvement par rapport au premier, le Dt qui les sépare est différent du Dt’ qui les sépare dans un autre référentiel R’. Une horloge en mouvement semble ralentie par rapport à une horloge au repos. Soient deux événements se déroulant dans R ,au même endroit, à des moments différents. On a D x = D y = D z et D t > 0. Au même endroit une horloge immobile affiche deux heures différentes à deux moments différents (D t > 0). Mais, dans R’, en mouvement par rapport à R, les deux événements ne se déroulent pas au même endroit !

 L’intervalle entre deux battements d’horloge apparaît plus important (à un observateur au repos) si cette horloge est en mouvement : le temps s’écoule moins vite. Dans le schéma ci-dessus, le photon qui rebondit d’un miroir à l’autre a plus de distance à parcourir dans l’horloge en mouvement que dans l’horloge immobile. Ainsi, la seconde, à droite, est-elle plus longue qu’à gauche (en tous cas pour une horloge comme celle de gauche). Si elle se déplaçait à vitesse c le temps serait infini, le battement ne se terminerait jamais, le photon n’atteindrait jamais le miroir supérieur. Naturellement, pour un observateur qui avance à la même vitesse que l’horloge, le temps s’écoule « normalement ». C’est ce qu’on nomme le temps propre du référentiel (il est noté  t). Sur l’horloge de droite on a, comme à gauche, 0s, 0,5s et 1s          

 

 On voit ici que plus v (la vitesse imprimée à une masse) augmente et tend vers c (la vitesse de la lumière), plus le dénominateur tend vers 0 (1 - 1) et donc Dt tend vers l’infini. Le jumeau embarqué dans la fusée ne voit, lorsque celle-ci atteint une vitesse constante, aucune différence avec ce qui se passait pour lui avant d’embarquer. Son temps propre ressemble à celui de son frère resté sur Terre. Au terme du voyage, pourtant, son frère aura vieilli plus que lui. Il y a une dilatation du temps due à la vitesse.

 

Remarque. Une horloge placée au sol avancera moins rapidement qu’une horloge placée en altitude. Ceci, à cause de l’accélération de la pesanteur, plus forte au niveau du sol qu’en hauteur. De même, une horloge placée à l’avant d’une fusée en phase d’accélération va plus vite dans le décompte du temps qu’une horloge placée à l’arrière.
Feynman avait ainsi calculé que le centre de la Terre vieillit moins vite que sa surface (un jour ou deux). Les calculs refaits récemment (2016) donnent plus exactement deux ans et demi. Et 40 000 ans pour l'écart entre surface et noyaux pour le soleil.

Cela signifie que l’accélération (celle de la pesanteur, g, dans le premier cas, celle du véhicule  a, dans le deuxième) dilate le temps. Ce qui est conforme à l’équivalence affirmée par Einstein des forces inertielle (F = m.a) et gravitationnelle (P = m.g).(Voir plus loin).

Cela signifie aussi que l’espace-temps au voisinage de la Terre est courbe. Traçons par exemple une durée de 60s au sol. La même durée de 60s à 100m d’altitude paraîtra plus courte. Si l’espace-temps était « plat », les deux extrémités de ces tracés se rejoindraient. Ce qu’ils ne font pas ! Témoignant de la courbure de l’espace au voisinage de la Terre (voir plus loin).

De la même manière, il y a une contraction des longueurs due à la vitesse. Soit un objet immobile dans un référentiel R’ en mouvement uniforme à la vitesse v, par rapport à un référentiel R immobile. Dans R’ l’objet mesure D x, c’est sa longueur propre. Quelle sera sa longueur D x' pour l’observateur situé en R immobile ?. On a, par la relation de Lorentz.

Ce qui donne :

où l’on voit que quand v augmente et tend vers c, Delta x diminue et tend vers 0. 

3. Le cône de lumière et le principe de causalité.

Cette limitation de la vitesse de la lumière a une conséquence considérable : elle oblige à redéfinir complètement le principe de causalité. Si pour A, placé plus près de l’éclair de gauche, ce dernier apparaît en premier et celui de droite ensuite, pour B placé plus près de celui de droite, c’est l’inverse. Et pour C placé à égale distance, ils apparaissent en même temps. Or, si l’ordre de succession des événements est quelconque, arbitraire, il n’y a plus de rapport de causalité. 

Ce n’est pas ainsi qu’il faut voir les choses. Les deux éclairs de l’exemple ne sont  en effet pas cause l’un de l’autre et c’est pourquoi, selon qu’on est ici ou là, on peut les voir dans un ordre ou dans un autre.

Mais, prenons deux événements successifs. Quand A allume la lumière, B allume son briquet. Si le briquet s’allume avant que B ait pu voir la lumière allumée, il n’y a pas causalité. Il faut tenir compte là encore, de la vitesse de la lumière. Si deux événements situés en deux points de l’espace se succèdent à une vitesse supérieure à c, ils ne sont pas cause l’un de l’autre. On dit qu’ils sont du genre espace et situés hors du cône de lumière. Ici, cD t < D x  où D x est la portion d’espace-temps à parcourir et ct ou cD t est la distance parcourue par la lumière. Le premier événement n’a pas le temps de produire le second. Ce dernier ne peut donc être l’effet du premier.

Deuxième cas : la vitesse de succession est inférieure à c cD t > D x). B allume le briquet après avoir vu la lumière. Le premier événement a le temps de produire le second. Les deux événements sont dits du genre temps. Ils sont dans le cône de lumière. L’un peut être cause de l’autre.

Dans le troisième cas, (cD t = D x), l’espace séparant les événements est égal au temps qui les sépare. Ils sont sur le bord du cône et peuvent être cause l’un de l’autre. Les deux événements sont du genre lumière.

(Pour approfondir, voir La Physique -Annexe - Les quadri-vecteurs. On y voit que la norme du quadri-vecteur position, qui est un carré, est négative ( !) à l’extérieur du cône, positive à l’intérieur et nulle sur le cône).

 

Ainsi, deux événements ne peuvent être dans un rapport de causalité (surviennent dans un ordre défini, quel que soit le référentiel) que s'ils sont tels que l'intervalle de temps, nécessaire pour une information à parcourir l'intervalle d'espace qui les sépare, est plus petit (genre temps) ou égal (genre lumière) à c. C’est le principe de localité  d’Einstein.

Reste à savoir ce qui rend ce temps et cet espace si élastiques.