Annexe 3. La mécanique quantique - La théorie des cordes

1. Pourquoi une théorie des cordes ?

a. La recherche de l’unification

Pour tenter de réaliser l’unification des quatre interactions. Trois d’entre elles (la forte, la faible et l’électromagnétique) sont explorées par le modèle standard de la mécanique quantique, la quatrième (la gravitationnelle) est expliquée par la Relativité générale. Pour unifier ces deux théories, il faudrait réussir à quantifier la Relativité : trouver le messager de la gravitation (comme on a trouvé les messagers de l’interaction forte : les gluons, de l’interaction faible : les bosons intermédiaires w+, w-, z et ceux de l’interaction électromagnétique : les photons) : le graviton (corde d’amplitude d’onde = 0, de masse = 0 et de spin = 2).

On remarque qu’une des difficultés de la mécanique quantique, c’est l’obligation d’appliquer la quantification perturbative. C’est que la description d’un système quantique (un atome, par exemple), dès qu’on dépasse le niveau le plus simple (l’atome d’hydrogène, la particule dans une boite et l’oscillateur harmonique quantique) est si complexe qu’on doit la simplifier au moyen de schémas d’approximation.

En raison de l’équivalence masse/énergie (E = mc²) et en raison de la masse infime des particules, l’énergie déployée dans les interactions a pour conséquence la création de nouvelles particules dont le nombre peut être supérieur après l’interaction par rapport à ce qu’il était avant. Les mécanismes qui aboutissent à ce surcroît de particules sont difficiles à mettre en évidence. Qu’y a t-il dans la boite noire de l’interaction pour qu’on passe de  n à    m > n particules ?

 

Outre le fait que les prédictions de la mécanique quantique sont nécessairement probabilistes, la difficulté est qu’il faut combiner toutes les probabilités concernant les particules qui vont disparaître, celles qui vont apparaître en sortie mais aussi celles qui sont apparues et disparues dans le processus intermédiaire, dans la boite. Or, on est conduit à l’infini.

On est alors amené à utiliser une technique de renormalisation.

On part des systèmes dont on connaît la solution exacte comme première approximation des solutions pour des systèmes plus complexes. On utilise alors les diagrammes de Feynman.

Cette méthode de la quantification perturbative fonctionne bien au niveau des trois interactions étudiées par la mécanique quantique, mais elle ne fonctionne pas pour la gravité. Pour cette dernière, les diagrammes de Feynman valent toujours l’infini. Dans la théorie des cordes, les vertex (points d’intersection), ne sont plus des points, mais des surfaces bi-dimentionnelles. Et le diagramme ne vaut plus l’infini).

 

(La théorie quantique à boucles préconisera plutôt le renoncement à la quantification perturbative).

Unifier ces quatre interactions suppose donc l’élaboration d’une théorie 1) capable de rendre compte de toutes les particules élémentaires (quark, leptons) et messagères (bosons) ainsi que du boson de Higgs, 2) d’une théorie qui soit géométrique pour englober la théorie einsteinienne de la gravitation, 3) et qui, enfin, décrive la gravitation sans divergence des équations (sans qu’elles conduisent à l’infini).

b. Naissance de la théorie des cordes

Le point de départ c’est la découverte par Veneziano en 1968, d’une formule vieille de deux siècles ( la fonction bêta d’Euler, une intégrale) qui semble pouvoir décrire la réaction de diffusion d’une interaction forte entre hadrons. On a généralisé et analysé le contenu en particules (combien de particules à une masse créée donnée, quel est leur spin, etc.) fourni par la formule et on s’est rendu compte que le spectre de particules qu’on obtenait était celui d’une corde vibrante.

On compare l’action d’une particule (sa ligne d’univers) sur une longueur donnée à l’action d’une corde (sa surface d’univers) sur une même longueur. L’équation obtenue pour la seconde est celle d’une corde vibrante.

Trois  problèmes toutefois (la nécessité de 26 dimensions, la présence de tachyons, une particule qui, si elle existait, se déplacerait à une vitesse supraluminique et l’absence de spin ½) dans les résultats de la formule.

Pour rajouter les spin ½ on les rajoute sur la corde et, selon qu’on a un nombre pair ou impair, on obtient un boson (spin entier) ou un fermion (spin ½). Et cela fonctionne à partir du moment où on admet une supersymétrie à deux dimensions (qui mélange les degrés de liberté fermioniques et bosoniques) et une supersymétrie à 10 dimensions entre bosons et fermions. On passe de 26 à 10 dimensions. Les tachyons disparaissent et le spin ½ est pris en compte.

On n’est plus dans la description « originelle » des interactions fortes (de la formule de Veneziano) dont la chromodynamique quantique rend d’ailleurs un meilleur compte. En revanche, le spectre de particules issu de la nouvelle formule fait apparaître (sur la ligne des masses nulles) non seulement le spin entier (des bosons), le spin ½ (des fermions) mais encore le spin 2 qui devrait être celui du graviton. Enfin, pas besoin de renormalisation, les équations des intégrales ont toujours des valeurs finies (y compris donc pour la gravitation !)

La théorie des supercordes doit donc être considérée comme une théorie de grande unification (ou théorie de tout). 

Deux problèmes pourtant : 6 dimensions excédentaires et le fait que les particules qu’on observe ne sont pas de masse nulle.

En premier lieu, il faut donc compactifier les 6 dimensions supplémentaires (voir plus bas).

En second lieu, la théorie des cordes suppose la supersymétrie (puisque les modes vibratoires vont par paires) c’est-à-dire le doublement du nombre des particules élémentaires, chacune d’elles se voyant associé un super-partenaire (pour les bosons, de spin entier, un fermion de spin 1/2 et pour les fermions, de spin ½, un boson de spin entier = 0) de masse bien supérieure à la masse de la particule associée. On espère pouvoir observer ces « nouvelles » particules au LHC du CERN. On n’y est pas encore parvenu, soit parce qu’elles n’existent pas soit parce que leur masse, supérieure à celles de leurs partenaires, est un peu trop grande pour la puissance actuelle de l’accélérateur. Ces super-particules, plus massives donc, rendraient compte, avec le boson de Higgs (dont la masse est trop faible pour suffire), de la masse des particules jusque là observées, apportant un supplément de masse.

En troisième lieu, ces super-particules garantiraient la même puissance pour les interactions forte, faible et électromagnétique à des énergies très élevées, conformes à celles qui règnent dans l’univers primordial.

  

 

c. Cordes et particules

D’abord, les cordes sont considérablement plus petites que les particules les plus petites constitutives de l’atome (10^-33 cm). Ce sont les éléments proprement dits de l’univers.

En second lieu, les cordes vibrent et chaque mode vibratoire correspond à un type de particule. Elles peuvent s’ajouter les unes aux autres ou se diviser, ce qui correspond à l’absorption ou à l’émission d’une 

particule.

Le problème, c’est que pour éviter les anomalies qui rendent la théorie inconsistante au niveau quantique, il faut supposer des dimensions supplémentaires de l’espace-temps. Il faut 10 dimensions. Les 6 dimensions supplémentaires d’espace sont très petites et repliées sur elles-mêmes (ce qui explique leur invisibilité). On considère que ces dimensions supplémentaires sont compactes (elles se seraient compactifiées peu après le big-bang, les autres s’étant étendues de façon exponentielle) c’est-à-dire qu’en chaque point de l’espace-temps, il existe un tout petit espace interne à 6 dimensions. On peut en donner une image en se représentant un robot de déplaçant dans les 3 dimensions habituelles mais dont la main articulée peut se déplacer selon  10 degrés de liberté au moins : gauche-droite, haut-bas, avant-arrière, inclinaison, rotation, etc. Autant de dimensions logées en un « point » (poing !) de l’espace à 3 dimensions où il se trouve. C’est en ce sens qu’une corde qui présente 10 degrés de liberté de spin, présente 10 dimensions. Mathématiquement, ces dimensions correspondent aux espaces de Calabi-Yau. Or il existe dans ce cas, à basse énergie, jusqu’à 10¹⁰⁰ ou 10⁵⁰⁰ théories des cordes possibles, selon qu’on choisit un espace de Calabi-Yau ou un autre !

 

2. Le multivers

a. Ce n’est pas une théorie, c’est une extrapolation cohérente. Une conséquence de la théorie des cordes (entre autres). Ce qui ne veut pas dire qu’elle n’est pas scientifique. Au contraire, comme conséquence d’une théorie (de celle des cordes ou de celles de l’inflation), elle est à considérer jusqu’à la preuve que la théorie qui la sous-tend n’est pas correcte.

Au départ, il y a l’idée que l’univers réel est plus grand que l’univers observable (à l’opposé de la théorie des univers chiffonnés de Luminet). Il y a un cône de lumière (voir plus haut) à l’intérieur duquel nous pouvons observer presque tout le passé de l’univers « observable » (tout ce qui, dans la ligne d’univers de cet univers est du genre temps). Sur quoi on sait tout de même pas mal de choses : il a un diamètre de 10²⁷ cm, comporte quelque 100 milliards de galaxies, a une densité de 5.10^-27 kg/m³ et contient 5.10⁸⁰ atomes. Mais il y a un extérieur du cône (ce qui est du genre espace) auquel nous n’avons pas accès.

Remarque 1: il n’est pas impossible de penser que nous puissions accéder à l’observation directe de l’univers antérieur à l’univers visible (le fonds diffus cosmologique qui, déjà, en tant que trace de ce qui l’a précédé et rendu possible, nous permet indirectement d’avoir connaissance de moments antérieurs) à partir des ondes gravitationnelles qui, à la différence des photons, n’interagissent pas avec la matière et n’ont pas « besoin » d’attendre un certain état de celle-ci pour se propager.

Remarque 2 : d’un autre côté, notre univers observable diminue de jour en jour. L’accélération de l’expansion envoie des galaxies hors du cône, de sorte que le nombre des galaxies observables est en continuelle diminution.

b. L’univers observable est grand. Mais cela ne va pas de soi. En effet, en mécanique quantique, on apprend que le vide a une énergie. En vertu de E = mc², cette énergie se comporte comme une masse et courbe donc, selon la relativité générale, l’espace-temps. Le problème, c’est que, tenant compte d’un niveau d’énergie comme, par exemple, celle de l’électron, Pauli calcule que l’univers d’Einstein ne devrait pas avoir un rayon de plus de 31 km ! Et d’autant plus petit qu’on augmente le niveau d’énergie de référence.

En fait, la question est : pourquoi l’univers observable dans lequel nous sommes est-il tel qu’il est ? Si on jouait à faire varier les constantes (qui sont des données propres à ce monde, indépendantes des théories qui le décrivent), on obtiendrait des mondes entièrement différents : mondes sans atomes, monde de neutrons, etc.

c. L’univers contient de grands objets. Etoiles, galaxies, amas, etc. Comment expliquer cela ? Parce que la force de gravitation (10^-33 cm, échelle de Planck donc, liée à la gravitation) est très faible devant la force électromagnétique(10^-17 cm, échelle électrofaible, liée à la masse des particules).

d. Revenons à la théorie des cordes. L’univers vient du vide (qui a une énergie, celle du nôtre pourrait être la constante cosmologique). On pourrait donc concevoir 10¹⁰⁰ à 10⁵⁰⁰ bulles de vide dont chacune correspond à des valeurs différentes des constantes fondamentales. Si on pouvait modéliser l’ensemble de ces univers, on pourrait vérifier que l’un d’entre eux correspond exactement au nôtre. S’il s’avérait qu’il n’y en ait aucun, c’est toute la théorie qui s’effondrerait.

On peut aussi, à défaut d’explorer tous les modèles, chercher quelle est la valeur la plus probable de L (la constante cosmologique) pour obtenir un univers semblable au nôtre qui soit aussi observable, donc un univers qui ait le temps de se structurer en autant de galaxies et qui dure suffisamment longtemps pour que des observateurs puissent le regarder. Weinberg, en 1974, a mesuré qu’on devait avoir quelque chose compris entre 0.1 et 1 fois la valeur L critique (valeur observée aujourd’hui de la constante cosmologique).

Ainsi, la réponse de la théorie des cordes à la question des 10^100ou500 théories possibles, c’est le multivers. Il doit exister en parallèle une multitude d’univers obéissant à des lois différentes, s’appuyant sur des constantes différentes. Chacun dans son espace de Calabi-Yau.

Disons que c’est de trois choses l’une : ou bien chaque théorie (dans son espace propre) décrit un univers réel encore qu’inaccessible (le nôtre excepté), ou bien de tous les univers possibles ainsi décrits, un seul est réel, le nôtre, tout le problème étant de trouver quelle théorie en rend compte. Ou bien, on l’a vu, si aucun des univers décrits par ces théories ne correspond au nôtre, il faut abandonner la théorie des cordes.

 

Remarque :  Les supercordes

On ne distingue plus semble t-il  la théorie des cordes  de celle des supercordes. Simplement, on appelle théorie des supercordes la première qu’on a rendu relativiste (c’est-à-dire qu’elle répond aux exigences d’invariance des transformations de Lorentz) et à laquelle on a ajouté la supersymétrie.

On compte 5 théories des supercordes (la théorie de type I pour laquelle il y a des cordes ouvertes et des cordes fermées, les autres fonctionnant exclusivement avec des cordes fermées) toutes unifiables dans la Théorie M (à 11 dimensions) mise en œuvre par Edward Witten en 1990.

Les différentes théories sont symétriques par rapport à la constante de couplage. Il y a donc des dualités. Par constante de couplage on entend une mesure : la mesure de la facilité ou de la difficulté pour une corde de se briser ou de s’unir à une autre. Deux théories sont duales par rapport à cette constante de couplage lorsque la physique décrite par une théorie, par exemple celle de la théorie de type I à forte constante de couplage  est identique à la physique décrite par la théorie hétérotique 0 lorsqu’elle considère une faible constante de couplage. La théorie IIA est duale avec la théorie hétérotique E.

 Selon cette théorie, les cordes coexistent avec des branes (des membranes qui sont des cordes étirées dans une seconde dimension). Une particule est un 0-brane (un objet de dimension 0), une corde est un 1-brane (un objet de dimension 1, avec une  constante de couplage  faible), une surface, une membrane, est un 2-brane (un objet à 2 dimensions, constante de couplage plus forte), etc. Un 3-brane, par exemple, est une surface dans l’espace-temps (2-brane étiré dans une troisième dimension, constante de couplage encore plus forte). Mais, enroulée, elle peut devenir un tore (donc un 2-brane) ou, enroulée très serrée, une sorte de corde (donc un 1-brane).

3. Théorie des cordes et big-bang

Le modèle standard de la cosmologie fait naître (théoriquement, puisque le mur de Planck nous empêche d’accéder à cette « origine ») l’univers d’une singularité originelle de densité infinie et de volume nul.

La théorie des cordes exclut cette hypothèse. Les cordes non enroulées (origine du photon, de l’électron, du graviton) ont une énergie (ou une masse) quasi nulle (voire nulle : photon, graviton) puisque compensée par les fluctuations du vide quantique.. Les cordes enroulées, en revanche, ont une énergie (une masse) proportionnelle au rayon du « cylindre » d’espace dans lequel elles s’enroulent. Or, il y a une longueur (circonférence) minimale pour une corde :   10^-34 m. Il n’y a donc pas de singularité originelle (de volume nul).

Soit une corde enroulée autour d’un cylindre dont le rayon est par exemple 10 fois la longueur de Planck (qu’on notera 1). Quelle est son énergie ? D’abord son énergie d’enroulement (nombre d’enroulements x rayon du cylindre) = 1 x  10 = 10. Son énergie de glissement (inversement proportionnelle au rayon puisque plus le rayon est petit, plus la corde est confinée, plus elle s’agite, plus donc son énergie de glissement est grande. On suppose qu’elle glisse une fois) = 1 x  1/10 = 0,1. Au total : 10 + 0,1 = 10,1.

Rétrécissons le rayon du cylindre à 1/10^ème de la longueur de Planck (contractons l’univers, conformément à l’hypothèse qui conduit à la singularité). Son énergie d’enroulement sera = 1 x 1/10 = 0,1 et son énergie de glissement   =  1 x 0,1 = 10. Au total : 0,1 + 10 = 10,1.

Ainsi, un univers cylindre de petit rayon correspond à univers cylindre de grand rayon ! Cela veut dire que lorsque l’univers rétrécit jusqu’à la longueur de Planck, il s’échauffe, certes, mais ensuite se refroidit et se dilate. Il rebondit de la longueur de Planck. Il n’a donc pas de « point » originel auquel nous puissions remonter, pas de température infinie, pas de densité infinie. Avant de se dilater, il a fallu que l’univers se contracte jusqu’à une dimension limite de 10^-34 m.

 

Les univers-bulle

On a vu comment la théorie des cordes conduisait à concevoir la possibilité d’une multitude d’univers possibles. Cela signifie-t-il qu’on peut les concevoir comme des possibilités dont une seule s’est réalisée (le modèle de Leibniz : Dieu conçoit une infinité d’univers possibles et choisit de réaliser seulement le meilleur), ou bien, ces univers ou certains d’entre eux existent-ils parallèlement et ce, depuis « l’origine », ou bien encore, des univers se créent-ils à tout instant ?

Cette dernière hypothèse est celle des univers-bulles de Linde. Parallèles les uns aux autres ou même enchâssés les uns dans les autres, ces univers n’auraient aucun contact les uns avec les autres et obéiraient chacun à des lois spécifiques. C’est le modèle dit de l’inflation chaotique.

Le modèle de l’inflation lui-même conduit à penser à la production non pas d’un mais de multiples univers.

Comment se forment ces bulles ? L’hypothèse est que l’univers résulte du vide, plus précisément d’une fluctuation du vide.

La brisure de symétrie, comme celle qui est par exemple à l’origine du champ de Higgs, peut générer des défauts. Considérons, par exemple, une table dressée pour une cinquantaine d’invités. Une serviette de table est déposée à côté de chaque assiette. Sur un côté de la table un invité prend la serviette placée à droite de son assiette. Déjà, la symétrie est brisée (il manque une serviette sur la table). Placé trop loin pour imiter (comme ses voisins immédiats) son geste, un invité prend la serviette de gauche, imité par ses voisins. A la fin, on assiste à un défaut de symétrie : un des convives aura deux serviettes, un autre aucune.

Un peu partout dans l’univers de tels défauts ont dû se produire lorsque s’il s’est refroidi. Le vide n’a pas partout le même niveau d’énergie. Ces défauts, ce sont les cordes cosmiques. Ce sont des défauts de 10^-32 m. L’énergie de ces cordes est très localisée, donc, mais aussi très grande (10 milliards de milliards de tonnes par mètre). Elles se déplacent à la vitesse de la lumière (c’est que la tension de la corde est si intense qu’elle annule l’effet de l’énergie de sorte qu’elle se comporte comme un objet de masse nulle).

Le champ de Higgs prend donc des valeurs différentes en différentes domaines. Ceux-ci augmentent jusqu’à se rencontrer. Aux points de rencontre, des défauts apparaissent puisque ces domaines ne peuvent fusionner à cause de leurs valeurs différentes. En ces points apparaissent de faux vides. Ce seront des cordes cosmiques, on l’a vu ( la jonction des domaines se faisant selon une ligne) ou des monopôles (quand la jonction se fait en un point).

Les bulles d’univers ne sont pas issues des défauts, mais au contraire des champs de vide dans lesquels la matière a pu s’organiser. La pression dans ces bulles est positive (alors qu’elle est négative dans le faux vide). Ces bulles ont donc pu s’expanser. Chaque création de bulle est un big-bang.