Annexe 4. La mécanique quantique - La gravitation quantique à boucles

1. Compléter la physique élémentaire

L’objectif est moins celui de l’unification de la mécanique quantique qui étudie les trois interactions forte, faible et électromagnétique, et de la relativité générale qui rend compte de la gravitation, que de compléter la description quantique des quatre interactions en décrivant l’aspect quantique de la gravitation.

Or, l’application des équations du modèle standard aux phénomènes gravitationnels conduit celles-ci à l’infini. Les intégrales divergent.

A plus longue échéance, le projet est tout de même assez semblable à celui de la théorie des cordes, mais alors que la théorie des cordes essaie d’unifier les quatre interactions du point de vue des particules, la théorie quantique à boucles tente cette unification du point de vue de l’espace.

 

2. Quantifier l’espace-temps lui-même.

Les propriétés quantiques du champ gravitationnel sont les propriétés quantiques de l’espace-temps lui-même. Les fluctuations de l’espace-temps doivent augmenter à mesure que l’échelle diminue (qu’on se rapproche des conditions de l’univers primordial). Le continuum spatio-temporel cesse d’être continu à l’échelle de Planck (10^-33 cm), l’espace-temps devient discret, admet une structure granulaire (quantique). Il doit y avoir des quanta d’espace-temps, des superpositions de géométries différentes. De même que la quantification des états d’un atome prescrit un niveau minimum d’énergie pour un électron (n = 1) qui empêche celui-ci de s’effondrer sur le noyau, de même il se pourrait qu’il existe un volume minimum d’espace qui empêche que l’espace s’effondre en singularité (dans le trou noir ou le big-bang).

On sait qu’en mécanique quantique, un point dans l’espace des phases (un espace qui permet l’interprétation géométrique du mouvement d’un système mécanique) représente non une position mais (principe de superposition) un ensemble de positions-impulsions possibles pour des particules en mouvement sous l’action de forces. De la même manière, un point dans l’espace des phases du champ de gravitation représente un état possible de la géométrie de l’espace-temps courbé par la présence de la matière, de l’énergie ou du rayonnement.

Ce dont il s’agit, ici, c’est de la configuration de l’espace-temps.

Disons-le autrement, au fur et à mesure que le nombre quantique définissant les orbites des électrons autour du noyau augmente, les différences de niveau énergétique d’une orbite à l’autre décroissent, la distance des orbites diminue et le spectre discret tend vers le continu.

Sur ce modèle, l’espace-temps, qui est continu à l’échelle ordinaire et cosmologique, pourrait être discontinu aux échelles quantiques. Granulaire.

Il y aurait donc une taille minimum des quanta d’espace (de surface, de volume), ce qui lève la difficulté des infinis pour les équations.

a. Soit un volume en cube, par exemple. Selon la physique classique, ce volume peut prendre une infinité de valeurs. Toutefois, si l’espace est quantifié, il ne peut prendre que des valeurs précises (comme les niveaux d’énergie dans l’atome) et a une valeur minimale non nulle : celle d’un cube ayant pour côté la longueur de Planck soit : 10^-105 m³. Idem pour les surfaces : celle d’une sphère a une valeur minimum (10^-70 m²) et ne peut prendre, au-delà, que des valeurs discrètes. Ni volume ni surface nuls, ni volume ni surface infinis. La plus petite aire possible est le carré de la longueur de Planck, le plus petit volume, le cube de cette longueur.

Il faut faire appel à des diagrammes pour formaliser cet espace.

Exemple : prenons un cube. Dans le diagramme, ce sera 1 point d’où partent 6 lignes (représentant les surfaces).

On pose une pyramide sur le cube.

 Une deuxième :

 etc.

 

Chaque état quantique est caractérisé par un graphe. Attention ! Il ne faut pas voir ces points et ces lignes comme localisés dans l’espace. Ils sont l’espace lui-même et la façon dont ils sont connectés définit la géométrie de cet espace.

Ces graphes sont nommés réseaux de spin (encore qu’ici il n’y a rien qui concerne le spin puisqu’il est question de l’espace-temps et non de particules). Ce ne sont pas davantage des diagrammes de Feynman, encore qu’ils puissent y ressembler. Ces derniers décrivent les interactions entre des particules dont il n’est pas ici question. Ces réseaux décrivent la géométrie de l’espace

 

b. Mais cet espace est géométriquement déterminé par la matière et l’énergie qu’il contient (gravitation). Il faut donc aussi représenter les particules et les champs. Les premières sont représentées par certains types de nœuds auxquels ont accole une étiquette nommant leurs propriétés et leurs attributs.. Les champs, par des étiquettes accrochées aux lignes. Le mouvement des particules et des champs est représenté par le déplacement par sauts des étiquettes. Les ondes gravitationnelles sont représentées, à leur tour, par des déformations des graphes.

Le but est de calculer les probabilités quantiques de chaque saut permis sur le réseau de spins.

  

L’espace-temps devient alors une mousse de spin dont chaque réseau de spin est une tranche. Attention ! La découpe de cette tranche dans la mousse n’est pas arbitraire. La mousse représente la succession des tranches dont chacune a une durée définie (le temps de Planck : 10^-43 s). On saute d’un réseau au suivant, on ne passe pas de l’un à l’autre de façon continue. Plus précisément,  un quantum de temps s’écoule en chaque point de la mousse où un saut quantique est effectué.

3. Validité de la théorie.

Déjà, par rapport à la théorie des cordes : elle n’a pas besoin de plus des 4 dimensions ordinaires (3 d’espace + 1 de temps) et elle n’a pas besoin de la supersymétrie pour être cohérente.

Toutefois, l’échelle à laquelle travaille cette théorie, rend impossible sa vérification directe. Il faut d’autres arguments.

L’un d’eux est sa cohérence avec la théorie de la relativité générale. On doit, dans les équations, retrouver l’espace-temps de la relativité générale comme une approximation de la théorie quantique de cet espace. C’est encore à démontrer.

Un autre serait son efficacité. Elle semble se manifester au niveau de la thermodynamique des trous noirs (voir Chapitre 14)

 

4. Du big-bang au big-bounce

Du point de vue cosmologique, la singularité à laquelle conduit le modèle standard du big-bang est, comme pour la théorie des cordes, exclue. Pour la théorie des cordes, c’était la température qui ne pouvait excéder un certain niveau. Pour la théorie à boucles, c’est la densité qui ne peut plus croître au-delà de la densité de Planck ou, ce qui revient au même, l'espace qui ne peut diminuer en dessous du volume de Planck. Comme si une force répulsive, d’origine quantique, empêchait l’univers de se réduire à un point. Cette densité de Planck atteinte, l’univers « rebondit » violemment et entame une phase d’expansion.. Un univers similaire au nôtre se serait contracté puis brusquement dilaté. Le big-bang consisterait en ce rebondissement de l’univers (Big-bounce).